Décomposition LU

Principe

La décomposition LU exprime toute matrice carrée inversible A comme le produit de deux matrices triangulaires :

• L — matrice triangulaire inférieure, avec des 1 sur la diagonale (convention diagonale unité)
• U — matrice triangulaire supérieure

A = L · U

      ⎡1   0⎤   ⎡u₁₁  u₁₂⎤
L =   ⎣l₂₁  1⎦ , U = ⎣ 0   u₂₂⎦

llu_unit(A)

Calcule la matrice L de la décomposition LU. La diagonale est fixée à 1 et les coefficients sous-diagonaux sont calculés par élimination de Gauss.

A = [[4, 3],
     [6, 3]]

L = llu_unit(A)
# L = [[1.0,  0.0],
#      [1.5,  1.0]]

ulu_unit(A)

Calcule la matrice U correspondante. Une fois L et U obtenus, on peut vérifier que leur produit reconstitue la matrice originale.

U = ulu_unit(A)
# U = [[4.0,   3.0],
#      [0.0,  -1.5]]

# Vérification : L · U = A
import numpy as np
np.allclose(np.dot(L, U), A)  # True

Applications

• Résolution de systèmes linéaires Ax = b par substitution avant/arrière
• Calcul du déterminant : det(A) = det(U) = produit des éléments diagonaux de U
• Calcul de l'inverse d'une matrice par résolution de n systèmes
• Base algorithmique pour de nombreuses méthodes numériques